2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

admin2016-06-25  59
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
选项
答案函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M， m≤[*]≤M， 由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得 f(η)=[*]=1， 于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)[*](0，3)，使f’(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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