2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使

设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使

admin2021-02-25  27
问题 设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使
   
选项
答案令F(x)=xnf(x)，在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，则[*]，使 [*] 再对G(x)=xn在[a，b]上应用拉格朗日中值足理，则[*]，使 [*] 从而nηn-1=nξn-1f(ξ)+ξnf’(ξ)，即 [*]
解析 本题考查中值问题．欲证之式可写成nηn-1=nξn-1+ξnf’(ξ)，左端为(xn)’｜x=n，右端为  (xnf(x))’｜x=ξ．式子中出现一个抽象函数和两个中值ξ，η，考虑利用两次拉格朗日中值定理．
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考研数学二

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