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设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.
设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛,并求其极限值.
admin
2018-08-12
107
问题
设a
1
=1,当n≥1时,a
n+1
=
,证明:数列{a
n
}收敛,并求其极限值.
选项
答案
设f(x)=[*]>0,f(x)在[0,+∞)上单调增加. 由a
1
=1>0,可得a
2
=[*]>0.故a
1
>a
2
>0,又由于函数f(x)在[0,+∞)上单调增加,所以有f(a
1
)>f(a
2
)>f(0)=0.再根据递归定义式a
n+1
=f(a
n
),可得a
2
>a
3
>0.类似地可以继续得到:a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>…>a
n
>a
n+1
>…>0,于是可知数列{a
n
}单调减少且有下界0,所以数列{a
n
}收敛.设其极限为A(A≥0),即[*]=A. 在a
n+1
=f(a
n
)两边同取n→∞时的极限,根据函数f(x)的连续性,有A=f(A),即A=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gLj4777K
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考研数学二
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