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  3. 设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．

设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．

admin2018-08-12  78
问题 设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．
选项
答案设f(x)=[*]＞0，f(x)在[0，+∞)上单调增加． 由a1=1＞0，可得a2=[*]＞0．故a1＞a2＞0，又由于函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以有f(a1)＞f(a2)＞f(0)=0．再根据递归定义式an+1=f(an)，可得a2＞a3＞0．类似地可以继续得到：a1＞a2＞a3＞a4＞…＞an＞an+1＞…＞0，于是可知数列{an}单调减少且有下界0，所以数列{an}收敛．设其极限为A(A≥0)，即[*]=A． 在an+1=f(an)两边同取n→∞时的极限，根据函数f(x)的连续性，有A=f(A)，即A=[*]．
解析
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考研数学二

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