2. 考研
  3. 已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，当n≥2时，f(n)(0)=________．

已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，当n≥2时，f(n)(0)=________．

admin2022-09-22  52
问题 已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，当n≥2时，f(n)(0)=________．
选项
答案5·2n-1
解析 由f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，可得
    f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f”(x)=2+2f’(x)，f”’(x)=2f”(x)，…
    则f(n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=2(n-2)f”(x)(n≥2)．
    而f(0)=1，f’(0)=2+2=4，f”(0)=10，
    因此f(n)(0)=5·2n-1．
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考研数学二

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