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已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,当n≥2时,f(n)(0)=________.
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,当n≥2时,f(n)(0)=________.
admin
2022-09-22
55
问题
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt,当n≥2时,f
(n)
(0)=________.
选项
答案
5·2
n-1
解析
由f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt,可得
f’(x)=2(x+1)+2f(x),f”(x)=2+2f’(x),f”’(x)=2f”(x),…
则f
(n)
(x)=2f
(n-1)
(x)=2
2
f
(n-2)
(x)=2
(n-2)
f”(x)(n≥2).
而f(0)=1,f’(0)=2+2=4,f”(0)=10,
因此f
(n)
(0)=5·2
n-1
.
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考研数学二
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