已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，当n≥2时，f(n)(0)=________．

admin2022-09-22 48

问题已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)²+2∫₀^xf(t)dt，当n≥2时，f⁽ⁿ⁾(0)=________．

选项

答案5·2^n-1

解析由f(x)=(x+1)²+2∫₀^xf(t)dt，可得
f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f”(x)=2+2f’(x)，f”’(x)=2f”(x)，…
则f⁽ⁿ⁾(x)=2f^(n-1)(x)=2²f^(n-2)(x)=2^(n-2)f”(x)(n≥2)．
而f(0)=1，f’(0)=2+2=4，f”(0)=10，
因此f⁽ⁿ⁾(0)=5·2^n-1．

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