设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

admin2017-06-14 41

问题设3阶对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，α₁=(1，－1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量，记B=A⁵－4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

选项

答案由Aα₁=α₁得A²α₁=Aα₁=α₁，进一步 A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，故 Bα₁=(A⁵－4A³+E)α₁ =A⁵α₁－4A³α₁+α₁ =α₁—4α₁+α₁ =－2α₁，从而α₁是矩阵B的属于特征值－2的特征向量．由B=A⁵－4A³+E及A的3个特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，得B的3个特征值为 μ₁=－2，μ₂=1，μ₃=1．设α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得 B也是对称矩阵，因此α₁与α₂，α₃正交，即 α₁^Tα₂=0， α₁^Tα₃=0，所以α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 故B的全部特征值的特征向量为 [*] 其中k₁是不为零的任意常数，k₂，k₃是不同时为零的任意常数．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gpu4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

考研数学一

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；

设数列{an}满足条件：a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。证明：S"(X)-S(X)=0；

如果0＜β＜α＜π/2，证明

(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

(2012年试题，二)设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—XXT的秩为_________________.

醛固酮的生理作用有

增大脉冲波多普勒检查测深度的错误方法是

血液培养送检应用的抗凝剂为()

Representativesfromthetwofirmsarecurrently_____themiddleofnegotiationsconcerningapossiblejointventure．

(2010年真题)在书刊装订中，主要环节为“折页→配书帖→订书→包本→烫背→切书→检查包装”的工艺流程，是()工艺流程。

邓小平同志指出：“计划经济不等于社会主义，资本主义也有计划；市场经济不等于资本主义，社会主义也有市场场。”这一论断表明()。

灾难:损害:挽救

一只羊的卵细胞核被另一只羊的体细胞核置换后，这个卵细胞经过多次分裂，再植入第三只羊的子宫内发育，结果产下一只羊羔。这种克隆技术具有多种用途，但是不能______。

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3．①证明α，Aα，A2α线性无关．②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

考研数学一

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．矩阵A的特征值和特征向量．

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；

设数列{an}满足条件：a0=3,a1=1,an-2-n(n-1)an=0(n≥2),S(x)是幂级数的和函数。证明：S"(X)-S(X)=0；

如果0＜β＜α＜π/2，证明

(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

(2012年试题，二)设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—XXT的秩为_________________.

醛固酮的生理作用有

增大脉冲波多普勒检查测深度的错误方法是

血液培养送检应用的抗凝剂为()

Representativesfromthetwofirmsarecurrently_____themiddleofnegotiationsconcerningapossiblejointventure．

(2010年真题)在书刊装订中，主要环节为“折页→配书帖→订书→包本→烫背→切书→检查包装”的工艺流程，是()工艺流程。

邓小平同志指出：“计划经济不等于社会主义，资本主义也有计划；市场经济不等于资本主义，社会主义也有市场场。”这一论断表明()。

灾难:损害:挽救

一只羊的卵细胞核被另一只羊的体细胞核置换后，这个卵细胞经过多次分裂，再植入第三只羊的子宫内发育，结果产下一只羊羔。这种克隆技术具有多种用途，但是不能______。

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足Aαi＝iαi，(i＝1，2，3)．记α＝α1＋α2＋α3．①证明α，Aα，A2α线性无关．②设P＝(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．