设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

admin2017-06-14 69

问题设3阶对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，α₁=(1，－1，1)^T是A的属于λ₁的一个特征向量，记B=A⁵－4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α₁是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

选项

答案由Aα₁=α₁得A²α₁=Aα₁=α₁，进一步 A³α₁=α₁，A⁵α₁=α₁，故 Bα₁=(A⁵－4A³+E)α₁ =A⁵α₁－4A³α₁+α₁ =α₁—4α₁+α₁ =－2α₁，从而α₁是矩阵B的属于特征值－2的特征向量．由B=A⁵－4A³+E及A的3个特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，得B的3个特征值为 μ₁=－2，μ₂=1，μ₃=1．设α₂，α₃为B的属于μ₂=μ₃=1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得 B也是对称矩阵，因此α₁与α₂，α₃正交，即 α₁^Tα₂=0， α₁^Tα₃=0，所以α₂，α₃可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 故B的全部特征值的特征向量为 [*] 其中k₁是不为零的任意常数，k₂，k₃是不同时为零的任意常数．

解析

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考研数学一

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设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

考研数学一

具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵曰的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；

若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α为转置，则矩阵βαT的非零特征值为

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

试述周邦彦词的艺术特点。

契约论

用于鉴别COPD和支气管哮喘的试验是

试述压电式加速度计是如何工作的。

由于秘书职业的特殊性，要做到“不该看的坚决不看，不该说的坚决不说”。这要求秘书人员具备()。

已知A=，B是三阶非零矩阵，且BAT=O，则a=________。

Chronicinsomniaisamajorpublichealthproblem.Andtoomanypeopleareusing【C1】______therapies,evenwhilethereareafe

Shehadamildattackofhysteria______reachingJamaica,whensherealizedhermotherhadactuallydied.

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

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具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵曰的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；

若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α为转置，则矩阵βαT的非零特征值为

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2个阶导数，且f(x)=1。证明：存在η∈(-1,1),使得f"(η)+f’(η)=1.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

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用于鉴别COPD和支气管哮喘的试验是

试述压电式加速度计是如何工作的。

由于秘书职业的特殊性，要做到“不该看的坚决不看，不该说的坚决不说”。这要求秘书人员具备()。

已知A=，B是三阶非零矩阵，且BAT=O，则a=________。

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