设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值和特征向量.

admin2017-06-14  24

问题 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值和特征向量.

选项

答案由Aα11得A2α1=Aα11, 进一步 A3α11,A5α11, 故 Bα1=(A5-4A3+E)α1 =A5α1-4A3α111—4α11 =-2α1, 从而α1是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 由B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,得B的3个特征值为 μ1=-2,μ2=1,μ3=1. 设α2,α3为B的属于μ23=1的两个线性无关的特征向量,又因为A是对称矩阵,得 B也是对称矩阵,因此α1与α2,α3正交,即 α1Tα2=0, α1Tα3=0, 所以α2,α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解: [*] 故B的全部特征值的特征向量为 [*] 其中k1是不为零的任意常数,k2,k3是不同时为零的任意常数.

解析
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