设f(x)连续，且积分∫01[f(x)+xf(xt)]dt的结果与x无关，求f(x)

admin2016-01-11 56

问题设f(x)连续，且积分∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt的结果与x无关，求f(x)

选项

答案∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt=f(x)∫₀¹dt+x∫₀¹f(xt)dt=f(x)+x∫₀¹f(xt)dt，而[*] 于是 ∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt=f(x)+∫₀^xf(u)du 两边对x求导，得 {∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt}’=f’(x)+f(x)=0，从而 f(x)=Ce^-x(C为任意常数)．

解析

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