设f(x)在[-a，a](a>0)上有四阶连续的导数，存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得

admin2018-11-11 49

问题设f(x)在[-a，a](a>0)上有四阶连续的导数，

存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[-a，a]，使得

选项

答案上式两边积分得[*] 因为f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)⁴≤Mx⁴， [*] 根据介值定理，存在ξ₁∈[-a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=[*]，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ²∈[-a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)

解析

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