设有二阶线性微分方程 (Ⅰ)作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程． (Ⅱ)求原方程的通解．

admin2020-03-16 66

问题设有二阶线性微分方程

(Ⅰ)作自变量替换

，把方程变换成y关于t的微分方程．
(Ⅱ)求原方程的通解．

选项

答案(Ⅰ)先求 [*] 再将①求导，得 [*] 将①代入 [*] 将②，③代入原方程得 [*] (Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=-1．非齐次方程可设特解y^*=Asint+Boost，代入④得 -(Asint+Boost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost-Bsint=sint 比较系数得A=0，B=-1，即y^*(t)=-cost．因此④的通解为 y=(c₁+c₂t)e^-t-cost 原方程的通解为y=(c₁+c₂arcsinx)e^-arcsinx-[*]，c₁，c₂为[*]常数．其中t=arcsinx，cost=[*]

解析

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考研数学二

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设有二阶线性微分方程 (Ⅰ)作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程． (Ⅱ)求原方程的通解．

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