设f(x)=x3+4x2一3x一1，试讨论方程f(x)=0在(一∞，0)内的实根情况．

admin2018-08-22 59

问题设f(x)=x³+4x²一3x一1，试讨论方程f(x)=0在(一∞，0)内的实根情况．

选项

答案方法一因为f(一5)=一11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上满足零点定理的条件，故存在ξ₁∈(一5，一1)及ξ₂∈(一1，0)，使得f(ξ₁)=f(ξ₂)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)内至少存在两个不等的实根．又因为f(1)=1＞0，同样f(x)在[0，1]上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点ξ₃，使得f(ξ₃)=0，而f(x)=0为三次多项式方程，最多只有三个实根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)内只有两个不等的实根．方法二由题可知f’(x)=3x²+8x一3，令f’(x)=0，可得[*]x₂=一3，则f(x)在(一∞，一3)上单调增加，在(一3，0)上单调递减．又因为f(一∞)＜0，f(一3)=17＞0，f(0)=一1所以由函数的单调性及零点定理，原函数在(一∞，0)内有两实根．

解析

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考研数学二

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