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  3. [2004年] 设f(x)=|x(1－x)|，则( )．

[2004年] 设f(x)=|x(1－x)|，则( )．

admin2019-03-30  20
问题 [2004年]  设f(x)=|x(1－x)|，则(    )．
选项 A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点
答案C
解析 解一  由于f(x)=|x(1－x)|是二次函数取绝对值，其图形不难作出，如图1．2．3．1所示．由此图形可直接判断．由于四个选项中只关注x=0的点，故只考察f(x)在x=0附近的凹凸性即可．如图1．2．3．1所示，f(0)=0为f(x)的极小值，而在x=0左侧，f(x)为凹函数，在x=0右侧，f(x)为凸函数．因此(0，0)是拐点．仅(C)入选．
           
    解二  由f(x)=|x(1－x)|易得到
           
    易作出f(x)的图形，如图1．2．3．1所示．下面采用严格分析的方法分析f’(x)与f"(x)在x=0左、右两侧的性质，确定极值和拐点．
    因x<0时f’(x)＜0，x＞0时f’(x)＞0，故f(x)在x=0附近左减右增，故f(0)为f(x)的极小值．
    又在x=0左侧，因f"(x)＞0(－1＜x＜0)，曲线y=f(x)为凹函数；在x=0右侧，因f"(x)=－1＜0(0＜x＜1)，曲线f(x)为凸函数．于是(0，0)为拐点，故x=0为极值点，(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．仅(C)入选．
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考研数学三

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