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[2004年] 设f(x)=|x(1-x)|,则( ).
[2004年] 设f(x)=|x(1-x)|,则( ).
admin
2019-03-30
39
问题
[2004年] 设f(x)=|x(1-x)|,则( ).
选项
A、x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点
B、x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
C、x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
D、x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点
答案
C
解析
解一 由于f(x)=|x(1-x)|是二次函数取绝对值,其图形不难作出,如图1.2.3.1所示.由此图形可直接判断.由于四个选项中只关注x=0的点,故只考察f(x)在x=0附近的凹凸性即可.如图1.2.3.1所示,f(0)=0为f(x)的极小值,而在x=0左侧,f(x)为凹函数,在x=0右侧,f(x)为凸函数.因此(0,0)是拐点.仅(C)入选.
解二 由f(x)=|x(1-x)|易得到
易作出f(x)的图形,如图1.2.3.1所示.下面采用严格分析的方法分析f’(x)与f"(x)在x=0左、右两侧的性质,确定极值和拐点.
因x<0时f’(x)<0,x>0时f’(x)>0,故f(x)在x=0附近左减右增,故f(0)为f(x)的极小值.
又在x=0左侧,因f"(x)>0(-1<x<0),曲线y=f(x)为凹函数;在x=0右侧,因f"(x)=-1<0(0<x<1),曲线f(x)为凸函数.于是(0,0)为拐点,故x=0为极值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.仅(C)入选.
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考研数学三
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