2. 考研
  3. 曲面S：，平面P：Ax＋By＋D＝0．其中abc≠0，A，B，C不同时为零．讨论并回答下述问题： S是否存在与P平行的切平面，并请推导出存在这种切平面的充要条件． 当存在时，请区分出是存在唯一一个，还是正好两个，还是可以多于两个．

曲面S：，平面P：Ax＋By＋D＝0．其中abc≠0，A，B，C不同时为零．讨论并回答下述问题： S是否存在与P平行的切平面，并请推导出存在这种切平面的充要条件． 当存在时，请区分出是存在唯一一个，还是正好两个，还是可以多于两个．

admin2019-01-24  50
问题 曲面S：，平面P：Ax＋By＋D＝0．其中abc≠0，A，B，C不同时为零．讨论并回答下述问题：
S是否存在与P平行的切平面，并请推导出存在这种切平面的充要条件．
当存在时，请区分出是存在唯一一个，还是正好两个，还是可以多于两个．
选项
答案设切点为Q(x0，y0，z0)，于是曲面S在点Q处的法向量为 [*] 又由于曲面S在点Q处的切平面平行于平面P，则有 [*] 在上式中，如果当A，B，C中有为0的项时，则认为对应的分子也为0．于是 x0＝a2At，y0＝b2Bt，z0＝－c2Ct， 因此将点(x0，y0，z0)代入曲面S的方程，得 [*] (a2A2＋b2B2－c2C2)t2＝－1． 则上述方程有解的充要条件是 c2C2－a2A2－b2B2＞0． ① 所以当 c2C2－a2A2－b2B2≤0 时，经过点Q不存在与P平行的切平面． 当①式成立时，有 [*] 其中 当[*]时，切点Q为[*]，切平面方程为 [*] 化简即为 Ax＋By＋Cz＋k＝0． ② 当[*]时，切点Q为[*]，切平面方程为 [*] 化简即为 Ax＋By＋Cz－k＝0． ③ 因为k＞0，所以k≠－k，所以②与③不是同一张平面，点[*]不在③上，点[*]不在②上． 故结论是：曲面S存在与平面P平行的切平面的充要条件是c2C2－a2A2－b2B2＞0．当存在时，必是存在两个不同的切平面与平面P平行．既不存在唯一一个，也不存在多于两个与平面P平行的切平面．
解析
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考研数学一

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