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求函数f(x,y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值.
求函数f(x,y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值.
admin
2019-12-26
72
问题
求函数f(x,y)=x
2
+2y
2
在约束条件x
2
+y
2
=1下的最大值和最小值.
选项
答案
【解法1】转化为无条件极值. 由约束条件可得x
2
=1-y
2
,-1≤y≤1,代入目标函数f(x,y)=x
2
+2y
2
中,得 φ(y)=(1-y
2
)+2y
2
=1+y
2
,-1≤y≤1. 由φ′(y)=2y=0得唯一驻点y=0,又φ(0)=1,φ(±1)=2,可知φ(y)的最大值为2,最小值为0.故函数f(x,y)=x
2
+2y
2
在约束条件x
2
+y
2
=1下的最大值和最小值分别为2,0. 【解法2】利用拉格朗日乘数法. 设L(x,y,λ)=x
2
+2y
2
+λ(x
2
+y
2
-1),由 [*] 解得可能极值点为(0,±1),(±1,0). 又,(0,±1)=2,f(±1,0)=1,故f
max
=2,f
min
=1.
解析
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考研数学三
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