2. 考研
  3. 求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

admin2019-12-26  112
问题 求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．
选项
答案【解法1】转化为无条件极值． 由约束条件可得x2=1－y2，－1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x2+2y2中，得 φ(y)=(1－y2)+2y2=1+y2，－1≤y≤1． 由φ′(y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值分别为2，0． 【解法2】利用拉格朗日乘数法． 设L(x，y，λ)=x2+2y2+λ(x2+y2－1)，由 [*] 解得可能极值点为(0，±1)，(±1，0)． 又，(0，±1)=2，f(±1，0)=1，故fmax=2，fmin=1．
解析
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考研数学三

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