求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

admin2019-12-26 67

问题求函数f(x，y)=x²+2y²在约束条件x²+y²=1下的最大值和最小值．

选项

答案【解法1】转化为无条件极值．由约束条件可得x²=1－y²，－1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x²+2y²中，得 φ(y)=(1－y²)+2y²=1+y²，－1≤y≤1．由φ′(y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x²+2y²在约束条件x²+y²=1下的最大值和最小值分别为2，0．【解法2】利用拉格朗日乘数法．设L(x，y，λ)=x²+2y²+λ(x²+y²－1)，由 [*] 解得可能极值点为(0，±1)，(±1，0)．又，(0，±1)=2，f(±1，0)=1，故f_max=2，f_min=1．

解析

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考研数学三

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