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设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k2[0,1,1,0]T+k2[一1,2,2,1]T. (1)求线性方程组(I)的基础解系;(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的公共非零解;若没有,则说明理由.
设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k2[0,1,1,0]T+k2[一1,2,2,1]T. (1)求线性方程组(I)的基础解系;(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的公共非零解;若没有,则说明理由.
admin
2021-01-19
74
问题
设四元齐次线性方程组(I)为
又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k
2
[0,1,1,0]
T
+k
2
[一1,2,2,1]
T
.
(1)求线性方程组(I)的基础解系;(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的公共非零解;若没有,则说明理由.
选项
答案
在方程组(Ⅱ)的解集合中寻找满足方程组(I)的解向量,为此将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(I)求之.另一种思路是求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解,即求它们解集的交集,为此令两通解相等,转化为四个任意常数是否有公共非零解. (1)将方程组(I)的系数矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵,得到 [*] 故方程组(I)的一个基础解系含4一秩(A)=4—2=2个解向量,其基础解系可取为 α
1
=[0,0,1,0]
T
, α
2
=[一1,1,0,1]
T
. (2) 将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ),得到[*]解得 k
1
=一k
2
.当k
1
=一k
2
≠0时,则方程组(Ⅱ)的解为k
1
[0,1,1,0]
T
+k
2
[一1,2,2,1]
T
=k
2
[0,一1,一1,0]
T
+k
2
[-l,2,2,1]
T
=k
2
[-1,l,1,1]
T
, 满足方程组(I),故方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解,所有的非零公共解即方程组(Ⅱ)的解集合中满足方程组(I)的解向量为 k[一1,l,1,1]
T
(k是非零的任意常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iV84777K
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考研数学二
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