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  3. 设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k2[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T． (1)求线性方程组(I)的基础解系；(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的公共非零解；若没有，则说明理由．

设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k2[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T． (1)求线性方程组(I)的基础解系；(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的公共非零解；若没有，则说明理由．

admin2021-01-19  102
问题 设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k2[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T．
(1)求线性方程组(I)的基础解系；(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的公共非零解；若没有，则说明理由．
选项
答案在方程组(Ⅱ)的解集合中寻找满足方程组(I)的解向量，为此将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(I)求之．另一种思路是求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，即求它们解集的交集，为此令两通解相等，转化为四个任意常数是否有公共非零解． (1)将方程组(I)的系数矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到 [*] 故方程组(I)的一个基础解系含4一秩(A)=4—2=2个解向量，其基础解系可取为 α1=[0，0，1，0]T， α2=[一1，1，0，1]T． (2) 将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ)，得到[*]解得 k1=一k2．当k1=一k2≠0时，则方程组(Ⅱ)的解为k1[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T=k2[0，一1，一1，0]T+k2[－l，2，2，1]T=k2[－1，l，1，1]T， 满足方程组(I)，故方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解，所有的非零公共解即方程组(Ⅱ)的解集合中满足方程组(I)的解向量为 k[一1，l，1，1]T(k是非零的任意常数)．
解析
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考研数学二

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