2. 考研
  3. 设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

admin2016-08-14  32
问题 设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．
选项
答案本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ2一3λ+2=(λ一1)(λ一2)=0 其根为 λ1=1，λ2=2 则齐次通解为[*] 由于λ=1为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y*=Axex 代人原方程得 A=一2 则原方程通解为 y=C1ex+C2e2x一2xex 由原题设曲线y=C1ex+C2e2x一2xex与曲线y=x2-x+1在点(0，1)处有公切线可知，y(0)=1，y’(0)=(2x一1)｜x=0=-1 由y(0)=1得 1=C1+C2 由y’(0)=一1得 一1=一2+C1+2C2 以上两式联立解得[*]，则所求的解为 y=一2xex+ex=ex(1—2x)
解析
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考研数学一

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