设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

admin2016-08-14 21

问题设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2e^x，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x²一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

选项

答案本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 λ²一3λ+2=(λ一1)(λ一2)=0 其根为 λ₁=1，λ₂=2 则齐次通解为[*] 由于λ=1为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y^*=Axe^x 代人原方程得 A=一2 则原方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x一2xe^x 由原题设曲线y=C₁e^x+C₂e^2x一2xe^x与曲线y=x²-x+1在点(0，1)处有公切线可知，y(0)=1，y’(0)=(2x一1)｜_x=0=-1 由y(0)=1得 1=C₁+C₂ 由y’(0)=一1得一1=一2+C₁+2C₂ 以上两式联立解得[*]，则所求的解为 y=一2xe^x+e^x=e^x(1—2x)

解析

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考研数学一

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设函数y=f(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

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