2. 考研
  3. 设f(x)连续，y=y(x)由exy+(x一1)y=ex确定，又∫02xtf(2x—t)dt=∫0xy(t)dt，求∫02f(x)dx．

设f(x)连续，y=y(x)由exy+(x一1)y=ex确定，又∫02xtf(2x—t)dt=∫0xy(t)dt，求∫02f(x)dx．

admin2017-07-26  67
问题 设f(x)连续，y=y(x)由exy+(x一1)y=ex确定，又∫02xtf(2x—t)dt=∫0xy(t)dt，求∫02f(x)dx．
选项
答案∫02xtf(2x—t)dt[*]∫02x(2x一u)f(u)du=2x∫02xf(u)du一∫02xf(u)du． 由题设有 2x∫02xf(u)du—∫02xuf(u)du=∫0xy(t)dt， 两边对x求导得 2∫02xf(u)du+4xf(2x)一4xf(2x)=y(x)， 即 2∫02xf(u)du=y(x)． 令x=1得∫02f(x)dx=[*]y(1)． 又ey(1)+0．y(1)=e，所以，y(1)=1．故∫02f(x)dx=[*]．
解析
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考研数学三

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