设f(x)连续，y=y(x)由exy+(x一1)y=ex确定，又∫02xtf(2x—t)dt=∫0xy(t)dt，求∫02f(x)dx．

admin2017-07-26 82

问题设f(x)连续，y=y(x)由e^xy+(x一1)y=e^x确定，又∫₀^2xtf(2x—t)dt=∫₀^xy(t)dt，求∫₀²f(x)dx．

选项

答案∫₀^2xtf(2x—t)dt[*]∫₀^2x(2x一u)f(u)du=2x∫₀^2xf(u)du一∫₀^2xf(u)du．由题设有 2x∫₀^2xf(u)du—∫₀^2xuf(u)du=∫₀^xy(t)dt，两边对x求导得 2∫₀^2xf(u)du+4xf(2x)一4xf(2x)=y(x)，即 2∫₀^2xf(u)du=y(x)．令x=1得∫₀²f(x)dx=[*]y(1)．又e^y(1)+0．y(1)=e，所以，y(1)=1．故∫₀²f(x)dx=[*]．

解析

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考研数学三

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