2. 考研
  3. 确定常数a，使向量组α1＝(1，1，a)，α2＝(1，a，1)，α3一(a，1，1)可由向量组β1＝(1，1，a)。β2＝(－2，a，4)，β2＝(－2，a，a)线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a，使向量组α1＝(1，1，a)，α2＝(1，a，1)，α3一(a，1，1)可由向量组β1＝(1，1，a)。β2＝(－2，a，4)，β2＝(－2，a，a)线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2014-01-26  55
问题 确定常数a，使向量组α1＝(1，1，a)，α2＝(1，a，1)，α3一(a，1，1)可由向量组β1＝(1，1，a)。β2＝(－2，a，4)，β2＝(－2，a，a)线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案对矩阵[*]作初等行变换，有 [*] 当a＝－2时，[*]，显然α2不能由β1，β2，β3线性表示，因此a≠－2； 当a＝4时， [*]，显然α2，α3均不能由β1，β2，β3线性表示，因此a≠4． 而当a≠－2且a≠4时，r(β1，β2，β3)＝3，此时向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示． 又[*]， 由题设，向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，必有a－1＝0或2－a－a2＝ 0，即a＝1或a＝－2． 综上所述，满足题设条件的只能是a＝1．
解析 [分析]  向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示，相当于方程组：
αi＝x1β1，x2β2，x3β3，i＝1，2，3．
均有解，问题转化为r(β1，β2，β3)＝r(β1，β2，β3)，i＝1，2，3是否均成立?这通过初等变换化阶梯形讨论即可．而向量组β1，β2，β3不能由向量组β1，β2，β3线性表示，相当于至少有一个向量β(j＝1，2，3)不能由α1，α2，α3线性表示，即至少有一方程组
    βi＝x1α1，x2α2，x3α3，j＝1，2，3，无解．
    [评注1]  向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，必有行列式｜[α1，α2，α3]｜＝0，由此也可确定a．
    [评注2]  向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题．
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考研数学二

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