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确定常数a,使向量组α1=(1,1,a),α2=(1,a,1),α3一(a,1,1)可由向量组β1=(1,1,a)。β2=(-2,a,4),β2=(-2,a,a)线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
确定常数a,使向量组α1=(1,1,a),α2=(1,a,1),α3一(a,1,1)可由向量组β1=(1,1,a)。β2=(-2,a,4),β2=(-2,a,a)线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
admin
2014-01-26
128
问题
确定常数a,使向量组α
1
=(1,1,a),α
2
=(1,a,1),α
3
一(a,1,1)可由向量组β
1
=(1,1,a)。β
2
=(-2,a,4),β
2
=(-2,a,a)线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
对矩阵[*]作初等行变换,有 [*] 当a=-2时,[*],显然α
2
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,因此a≠-2; 当a=4时, [*],显然α
2
,α
3
均不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,因此a≠4. 而当a≠-2且a≠4时,r(β
1
,β
2
,β
3
)=3,此时向量组α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示. 又[*], 由题设,向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示,必有a-1=0或2-a-a
2
= 0,即a=1或a=-2. 综上所述,满足题设条件的只能是a=1.
解析
[分析] 向量组α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,相当于方程组:
α
i
=x
1
β
1
,x
2
β
2
,x
3
β
3
,i=1,2,3.
均有解,问题转化为r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(β
1
,β
2
,β
3
),i=1,2,3是否均成立?这通过初等变换化阶梯形讨论即可.而向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,相当于至少有一个向量β(j=1,2,3)不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即至少有一方程组
β
i
=x
1
α
1
,x
2
α
2
,x
3
α
3
,j=1,2,3,无解.
[评注1] 向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示,必有行列式|[α
1
,α
2
,α
3
]|=0,由此也可确定a.
[评注2] 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ih34777K
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考研数学二
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