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设f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f”(x)>0,f(0)=0,证明:φ(x)=f(x)/x在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.
设f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f”(x)>0,f(0)=0,证明:φ(x)=f(x)/x在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.
admin
2021-02-25
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问题
设f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f”(x)>0,f(0)=0,证明:φ(x)=f(x)/x在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.
选项
答案
[*].令 g(x)=xf’(x)-f(x),g(0)=-f(0)=0, g’(x)=f’(x)+xf”(x)-f’(x)=xf”(x),g’(0)=0, 当x<0时g’(x)<0;当x>0时g’(x)>0.故g(0)=0是g(x)的最小值,所以当x≠0时,g(x)>g(0)=0,从而φ’(x)>0,即φ(x)在(-∞,0)和(0,+∞)都是单调增加的.
解析
本题考查函数单调性的判定方法,只需判断φ’(x)>0即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ii84777K
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考研数学二
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