设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt。 当F(x)的最小值为f(a)一a2—1时,求函数f(x)。

admin2018-12-19  14

问题 设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt。
当F(x)的最小值为f(a)一a2—1时,求函数f(x)。

选项

答案由2∫0atf(t)dt=f(a)一a2一1,两边对n求导得 2af(a)=f’(a)一2a, 于是 f’(x)一2xf(x)=2x, 解得 f(x)=(∫2xe—∫2xdxdx+C)e—∫—2xdx=Cex2一1, 在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1中,令a=0,得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=2ex2一1。

解析
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