设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： η，ξ1，…，ξn-r线性无关．

admin2021-02-25 37

问题设η^*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ₁，ξ_n-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
η^*，ξ₁，…，ξ_n-r线性无关．

选项

答案设有关系式kη^*+k₁ξ₁+…+k_n-rξ_n-r=0．用矩阵A左乘两端，有 O=kAη^*+k₁Aξ₁+…+k_n-rAξ_n-r=kAη^*=kb．所以k=0，从而有k₁ξ₁+…+k_n-rξ_n-r=0，而ξ₁，…，ξ_n-r线性无关，所以k₁=…=k_n-r=0，从而有η^*，ξ₁，…，ξ_n-r线性无关．

解析

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