2. 考研
  3. 已知A点和B点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及两平面x=0，z=1所围成的立体体积．

已知A点和B点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及两平面x=0，z=1所围成的立体体积．

admin2019-04-08  40
问题 已知A点和B点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及两平面x=0，z=1所围成的立体体积．
选项
答案用定积分求之．设高度为z处的截面Dz的面积为S(z)，则所求体积为 V=∫01S(z)dz． ① 为求S(z)，需先求出直线AB的方程．现已知该直线过定点(1，0，0)及其方向向量 s=(0一1，1—0，1—0)=(一1，1，1)， 故A，B所在的直线方程为 [*] 即 [*] 设直线上任意一点的坐标为(x，y，z)，则截面Dz的半径为 [*]（见图） [*] 则S(z)=πR2=π(1—2z+2z2)，由式①得到所求体积为 V=π(1—2z+2z2)dz=[*]
解析
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考研数学一

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