2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A-E恒可逆． 正确的个数为( )．

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A-E恒可逆． 正确的个数为( )．

admin2021-07-27  29
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：
①若A可逆，则B可逆；
②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A+B可逆；
④A-E恒可逆．
正确的个数为(          )．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由(A-E)B=A，可知当A可逆时，｜A-E｜｜B｜≠0，故｜B｜≠0，因此B可逆，可知①是正确的，当A+B可逆时，｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，故｜8｜≠0，因此B可逆，可知②是正确的，类似地，当B可逆时，A可逆，故｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的，最后，由AB=A+B可知(A-E)B-A=0，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆，可知④也是正确的。综上，4个命题都是正确的，故选(D)。
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考研数学二

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