设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’’(ξ)一2f’(ξ)=0．

admin2017-08-31 38

问题设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫₀²f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：
存在ξ∈(0，3)，使得f^’’(ξ)一2f^’(ξ)=0．

选项

答案令φ(x)=e^－2xf^’(x)，φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，3)，使得φ^’(ξ)=0，而φ^’(x)=e^－2x[f^’’(x)一2f^’(x)]且e^－2x≠0，故f^’’(ξ)一2f^’(ξ)=0．

解析

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考研数学一

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