设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3). 证明: 存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)一2f’(ξ)=0.

admin2017-08-31  25

问题 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3).
证明:
存在ξ∈(0,3),使得f’’(ξ)一2f(ξ)=0.

选项

答案令φ(x)=e-2xf(x),φ(ξ1)=φ(ξ2)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](0,3),使得φ(ξ)=0, 而φ(x)=e-2x[f’’(x)一2f(x)]且e-2x≠0,故f’’(ξ)一2f(ξ)=0.

解析
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