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设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,f(x)/x3存在. 证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx,a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2).
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,f(x)/x3存在. 证明:存在ξ1,ξ2∈[-a,a],使得a5f(4)(ξ1)=60∫-aaf(x)dx,a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2).
admin
2018-05-21
14
问题
设f(x)在[-a,a](a>0)上有四阶连续的导数,
f(x)/x
3
存在.
证明:存在ξ
1
,ξ
2
∈[-a,a],使得a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx,a
4
f
(4)
(ξ
1
)=120f(ξ
2
).
选项
答案
上式两边积分得∫
-a
a
f(x)dx=1/24∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx. 因为f
(4)
(x)在[-a,a]上为连续函数,所以f
(4)
(x)在[-a,a]上取到最大值M和最小值m,于是有mx
4
≤f
(4)
(ξ)x
4
≤Mx
4
, 两边在[-a,a]上积分得2m/5a
5
≤∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx≤2M/5a
5
, 从而ma
5
/60≤1/24∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx≤Ma
5
/60,或ma
5
/60≤∫
-a
a
f(x)dx≤Ma
5
/60, 于是m≤60/a
5
∫
-a
a
f(x)dx≤M, 根据介值定理,存在ξ
1
∈[-a,a],使得f
(4)
(ξ
1
)=60/a
5
∫
-a
a
f(x)dx,或a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx. 再由积分中值定理,存在ξ
2
∈[-a,a],使得 a
5
f
(4)
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx=120af(ξ
2
),即a
4
f
(4)
(ξ
1
)=120f(ξ
2
).
解析
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考研数学一
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