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设x>0时,F(x)=,其中函数f(x)在区间(0,+∞)上连续且单调增加,试证:F(x)在(0,+∞)也单调增加.
设x>0时,F(x)=,其中函数f(x)在区间(0,+∞)上连续且单调增加,试证:F(x)在(0,+∞)也单调增加.
admin
2020-04-21
66
问题
设x>0时,F(x)=
,其中函数f(x)在区间(0,+∞)上连续且单调增加,试证:F(x)在(0,+∞)也单调增加.
选项
答案
自然的想法是求F’(x).由于F(x)中的第一项变限积分中被积函数除依赖于积分变量t外,还依赖于x,所以要通过变量替换把积分化为只有积分限含有x的变限积分,然后再求导.于是,令u=[*],则 [*] 代入即得 F’(x)>0(x>0,x≠1),此外还有F’(1)=0. 因此,F(x)在(0,+∞)单调增加.
解析
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考研数学二
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