2. 考研
  3. 设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，为样本均值。 (1)求参数θ的矩估计量，计算E并判断是否依概率收敛于θ，说明理由； (2)求参数θ的最大似然估计量，并计算E。

设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，为样本均值。 (1)求参数θ的矩估计量，计算E并判断是否依概率收敛于θ，说明理由； (2)求参数θ的最大似然估计量，并计算E。

admin2021-04-16  103
问题 设总体X～U[θ，2θ]，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，为样本均值。
    (1)求参数θ的矩估计量，计算E并判断是否依概率收敛于θ，说明理由；
    (2)求参数θ的最大似然估计量，并计算E。
选项
答案(1)由于总体X～U[θ，2θ]，由矩估计方程 XEX=(θ+2θ)／2=3θ／2， 得参数θ的矩估计量为 [*] 即对于任意ε＞0，有 [*] 即[*]依概率收敛于θ。 (2)设x1，x2，…，xn为样本观测值，似然函数为 L(θ)=[*](1／θ)=1／θi，似然函数非零要求θ≤xi≤2θ(i=1，2，…，n)，令x(1)=min{x1，x2，…，xn}，x(n)=max{x1，x2，…，xn}，则θ≤x(1)≤x(n)≤2θ，即x(n)／2≤θ≤x(1),又由于L(θ)关于θ是单调递减的，则当θ=(1／2)x(n)时，L(θ)达到最大，所以参数θ的最大似然估计量为 [*]=(1／2)X(n)，其中X(n)=max{X1，X2，…，Xn}，由于X(n)的概率密度为 [*]=(n／θn)(x-θ)n-1，θ≤x≤2θ，故 EX(n)=∫θ2θx(n／θn)(x-θ)n-1dx=(2n+1)θ／(n+1)，从而可得[*]=E(X(n)／2)=(2n+1)θ／2(n+1)。
解析
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考研数学三

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