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设总体X~U[θ,2θ],其中θ>0是未知参数,X1,X2,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,为样本均值。 (1)求参数θ的矩估计量,计算E并判断是否依概率收敛于θ,说明理由; (2)求参数θ的最大似然估计量,并计算E。
设总体X~U[θ,2θ],其中θ>0是未知参数,X1,X2,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,为样本均值。 (1)求参数θ的矩估计量,计算E并判断是否依概率收敛于θ,说明理由; (2)求参数θ的最大似然估计量,并计算E。
admin
2021-04-16
51
问题
设总体X~U[θ,2θ],其中θ>0是未知参数,X
1
,X
2
,X
n
是来自总体X的一个简单随机样本,
为样本均值。
(1)求参数θ的矩估计量
,计算E
并判断
是否依概率收敛于θ,说明理由;
(2)求参数θ的最大似然估计量
,并计算E
。
选项
答案
(1)由于总体X~U[θ,2θ],由矩估计方程 XEX=(θ+2θ)/2=3θ/2, 得参数θ的矩估计量为 [*] 即对于任意ε>0,有 [*] 即[*]依概率收敛于θ。 (2)设x
1
,x
2
,…,x
n
为样本观测值,似然函数为 L(θ)=[*](1/θ)=1/θ
i
,似然函数非零要求θ≤x
i
≤2θ(i=1,2,…,n),令x
(1)
=min{x
1
,x
2
,…,x
n
},x
(n)
=max{x
1
,x
2
,…,x
n
},则θ≤x
(1)
≤x
(n)
≤2θ,即x
(n)
/2≤θ≤x
(1)
,又由于L(θ)关于θ是单调递减的,则当θ=(1/2)x
(n)
时,L(θ)达到最大,所以参数θ的最大似然估计量为 [*]=(1/2)X
(n)
,其中X
(n)
=max{X
1
,X
2
,…,X
n
},由于X
(n)
的概率密度为 [*]=(n/θ
n
)(x-θ)
n-1
,θ≤x≤2θ,故 EX
(n)
=∫
θ
2θ
x(n/θ
n
)(x-θ)
n-1
dx=(2n+1)θ/(n+1),从而可得[*]=E(X
(n)
/2)=(2n+1)θ/2(n+1)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jpx4777K
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考研数学三
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