2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2019-08-28  54
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中

(1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
(2)求矩阵A．
选项
答案(1)由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3， 因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于2重， 显然λ=-1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=5． 由(E+A)B=o得B的列组为(E+A)X=0的解， 故α1=[*]，α2=[*]为λ1=λ2=-1对应的线性无关解． 令α3=[*]为λ3=5对应的特征向量， 因为AT=A，所以 [*] 令β1=[*]，β2=α2-[*]，正交化得 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)，则f=XTAX[*]-y12-y22+5y32． (2)由 [*]
解析
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考研数学三

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