设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2019-08-28 67

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中

(1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
(2)求矩阵A．

选项

答案(1)由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=-1为A的特征值且不低于2重，显然λ=-1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁=λ₂=-1，λ₃=5．由(E+A)B=o得B的列组为(E+A)X=0的解，故α₁=[*]，α₂=[*]为λ₁=λ₂=-1对应的线性无关解．令α₃=[*]为λ₃=5对应的特征向量，因为A^T=A，所以 [*] 令β₁=[*]，β₂=α₂-[*]，正交化得 [*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则f=X^TAX[*]-y₁²-y₂²+5y₃²． (2)由 [*]

解析

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考研数学三

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