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  3. 已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC-B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC-B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

admin2020-03-16  63
问题 已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC-B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．
选项
答案椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2-1=0． 令F(x，y，λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1)，解方程组 [*] 将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得 [(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)y2]=0， 即 x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ， 于是可得d=[*] 从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’x=0，F’y=0有非零解，其系数行列式应为零，即 [*] 该方程一定有两个根λ1，λ0，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为 [*]
解析
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考研数学二

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