2. 考研
  3. 设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)ap+bp＞21-p(a+b)p(p＞1)； (Ⅱ)ap+bp＜21-p(a+b)p(0＜p＜1)．

设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)ap+bp＞21-p(a+b)p(p＞1)； (Ⅱ)ap+bp＜21-p(a+b)p(0＜p＜1)．

admin2018-06-27  49
问题 设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：
(Ⅰ)ap+bp＞21-p(a+b)p(p＞1)；
(Ⅱ)ap+bp＜21-p(a+b)p(0＜p＜1)．
选项
答案将ap+bp＞21-p(a+b)p改写成[*](ap+bp)＞[*]．考察函数f(x)=xp，x＞0，则 f’(x)=pxp-1，f’’(x)=p(p-1)xp-2． (Ⅰ)若p＞1，则f’’(x)＞0([*]＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=[*]得：[*]＞0，b＞0，a≠b，有 [*] (Ⅱ)若0＜p＜1，则f’’(x)＜0([*]＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=[*][f(a)+f(b)]，即[*](ap+bp)．
解析
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考研数学二

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