设a>0,b>0,a≠b,证明下列不等式: (Ⅰ)ap+bp>21-p(a+b)p(p>1); (Ⅱ)ap+bp<21-p(a+b)p(0<p<1).

admin2018-06-27  32

问题 设a>0,b>0,a≠b,证明下列不等式:
(Ⅰ)ap+bp>21-p(a+b)p(p>1);
(Ⅱ)ap+bp<21-p(a+b)p(0<p<1).

选项

答案将ap+bp>21-p(a+b)p改写成[*](ap+bp)>[*].考察函数f(x)=xp,x>0,则 f’(x)=pxp-1,f’’(x)=p(p-1)xp-2. (Ⅰ)若p>1,则f’’(x)>0([*]>0),f(x)在(0,+∞)为凹函数,由已知不等式(4.6),其中t=[*]得:[*]>0,b>0,a≠b,有 [*] (Ⅱ)若0<p<1,则f’’(x)<0([*]>0),f(x)在(0,+∞)为凸函数,由不等式(4.7),其中t=[*][f(a)+f(b)],即[*](ap+bp).

解析
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