设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)ap+bp＞21-p(a+b)p(p＞1)； (Ⅱ)ap+bp＜21-p(a+b)p(0＜p＜1)．

admin2018-06-27 47

问题设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：
(Ⅰ)a^p+b^p＞2^1-p(a+b)^p(p＞1)；
(Ⅱ)a^p+b^p＜2^1-p(a+b)^p(0＜p＜1)．

选项

答案将a^p+b^p＞2^1-p(a+b)^p改写成[*](a^p+b^p)＞[*]．考察函数f(x)=x^p，x＞0，则 f’(x)=px^p-1，f’’(x)=p(p-1)x^p-2． (Ⅰ)若p＞1，则f’’(x)＞0([*]＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=[*]得：[*]＞0，b＞0，a≠b，有 [*] (Ⅱ)若0＜p＜1，则f’’(x)＜0([*]＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=[*][f(a)+f(b)]，即[*](a^p+b^p)．

解析

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