设齐次线性方程组 的系数矩阵为A= 设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明: (Ⅰ)(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量; (Ⅱ)如果A的秩为n-1,则方程组的所有解向量是(M1,-M2,…,(-1

admin2019-05-14  32

问题 设齐次线性方程组

的系数矩阵为A=
设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明:
(Ⅰ)(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量;
(Ⅱ)如果A的秩为n-1,则方程组的所有解向量是(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)的倍数。

选项

答案(Ⅰ)作n阶行列式 Di=[*],i=1,2,…,n-1。 因为Di的第一行与第i+1行是相同的,所以Di=0。 Di的第一行元素的代数余子式依次为M1,-M2,…,(-1)n-1Mn,将Di按第一行展开,得 ai1M1+ai2(-M2)+…+ain[(-1)n-1Mn]=0,(i=l,2,…,n-1), 这说明(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)满足第i(i=1,2,…,n-1)个方程,故它是方程组的一个解。 (Ⅱ)因为R(A)=n-1,所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n-(n-1)=1,同时因为R(A)=n-1,说明A中至少有一个(n-1)阶子式≠0,即M1,M2,…,Mn不全为0,于是(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个非零解,它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)的倍数。

解析
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