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设齐次线性方程组 的系数矩阵为A= 设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明: (Ⅰ)(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量; (Ⅱ)如果A的秩为n-1,则方程组的所有解向量是(M1,-M2,…,(-1
设齐次线性方程组 的系数矩阵为A= 设Mi(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明: (Ⅰ)(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个解向量; (Ⅱ)如果A的秩为n-1,则方程组的所有解向量是(M1,-M2,…,(-1
admin
2019-05-14
49
问题
设齐次线性方程组
的系数矩阵为A=
设M
i
(i=1,2,…,n)是A中划去第i列所得到的n-1阶子式。证明:
(Ⅰ)(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)是方程组的一个解向量;
(Ⅱ)如果A的秩为n-1,则方程组的所有解向量是(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)的倍数。
选项
答案
(Ⅰ)作n阶行列式 D
i
=[*],i=1,2,…,n-1。 因为D
i
的第一行与第i+1行是相同的,所以D
i
=0。 D
i
的第一行元素的代数余子式依次为M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
,将D
i
按第一行展开,得 a
i1
M
1
+a
i2
(-M
2
)+…+a
in
[(-1)
n-1
M
n
]=0,(i=l,2,…,n-1), 这说明(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)满足第i(i=1,2,…,n-1)个方程,故它是方程组的一个解。 (Ⅱ)因为R(A)=n-1,所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n-(n-1)=1,同时因为R(A)=n-1,说明A中至少有一个(n-1)阶子式≠0,即M
1
,M
2
,…,M
n
不全为0,于是(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)是方程组的一个非零解,它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M
1
,-M
2
,…,(-1)
n-1
M
n
)的倍数。
解析
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考研数学一
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