设证明向量组α1，α2，…，αn与向量组β1，β2，…，βn等价．

admin2021-02-25 66

问题设

证明向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组β₁，β₂，…，β_n等价．

选项

答案方法一：显然β₁，β₂，…，β_n可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，又β₁+β₂+…+β_n=(n-1)(α₁+α₂+…+α_n)，即α₁+α₂+…+α_n=[*]与(β₁+β₂+…+β_n)．从而可得 [*] 这说明α₁，α₂，…，α_n也可由β₁，β₂，…，β_n线性表示，所以向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组β₁，β₂，…，β_n等价．方法二：令B=(β₁，β₂，…，β_n)，A=(α₁，α₂，…，α_n)，则由已知可得向量组β₁，β₂，…，β_n可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示，且有B=AK，其中 [*] 所以K可逆，于是有A=BK^-1，即向量组α₁，α₂，…，α_n可由向量组β₁，β₂，…，β_n线性表示，从而可得向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组β₁，β₂，…，β_n等价．

解析

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考研数学二

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