设4元齐次方程组(Ⅰ)为且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

admin2021-02-25 37

问题设4元齐次方程组(Ⅰ)为

且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
α₁=(2，-1，a+2，1)^T，α₂=(-1，2，4，a+8)^T．
当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

选项

答案由题设条件，方程组(Ⅱ)的全部解为 [*] 其中，k₁，k₂为任意常数．将上式代入方程组(Ⅰ)，得 [*] 要使方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，只需关于k₁，k₂的方程组有非零解，因为 [*] 所以当a≠-1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)无非零公共解。当a=-1时，方程组(*)有非零解，且k₁，k₂为不全为零的任意常数，此时可得方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解为 [*] 其中，k₁，k₂为不全为零的任意常数．

解析

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考研数学二

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设4元齐次方程组(Ⅰ)为且已知另一4元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=(2，-1，a+2，1)T，α2=(-1，2，4，a+8)T．当a为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

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