设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08 77

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQ^T。设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α₁=(－1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T，把α₁单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学一

已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

已知方程组与方程组是同解方程组，试确定参数a，b，c．

设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．求D的面积A；

求极限

已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1＋x2＋x3＝0的解。求齐次方程(ii)的通解。

计算线积分(y2＋z2)dx＋(z2＋x2)dy＋(x2＋y2)dz，其中c是曲线x2＋y2＋z2＝2Rx，x2＋y2＋z2＝2ax(z＞0，0＜a＜R)，且按此方向进行，使它在球的外表面上所围区域∑在其左方。

设随机变量X，Y独立，且E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)存在，则下列等式中不成立的是()，下列表示式中的a，b均为常数。

设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图2—3中阴影部分的面积最大?最小?

设f(x)连续，且求f(x)．

A．患侧眼球固定，微外突B．患眼上肌麻痹，眼球固定，后突眼性视力麻痹C．先视力障碍后眼外肌麻痹D．先眼外肌麻痹后视力障碍E．眼球突出鼻咽癌出现垂体蝶窦综合征的临床表现是

构成医患之间信任关系的根本前提是

具有广谱抗心律失常作用阵发性室上性心动过速首选

A．肺炎链球菌B．乙型溶血性链球菌C．金黄色葡萄球菌D．流感嗜血杆菌E．肠致病型大肠埃希菌常引起婴儿腹泻

下列选项中，属于施工阶段监理工作主要任务的有()。

下列各项，应通过“固定资产清理”科目核算的有()。

下列说法中错误的一项是______。

StevewantstotraveltoLondonbytraininsteadofbusbecause

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．求D的面积A；

求极限

已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1＋x2＋x3＝0的解。求齐次方程(ii)的通解。

计算线积分(y2＋z2)dx＋(z2＋x2)dy＋(x2＋y2)dz，其中c是曲线x2＋y2＋z2＝2Rx，x2＋y2＋z2＝2ax(z＞0，0＜a＜R)，且按此方向进行，使它在球的外表面上所围区域∑在其左方。

设随机变量X，Y独立，且E(X)，E(Y)和D(X)，D(Y)存在，则下列等式中不成立的是()，下列表示式中的a，b均为常数。

设f(x)在[0，b]可导，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，问t取何值时，图2—3中阴影部分的面积最大?最小?

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下列选项中，属于施工阶段监理工作主要任务的有()。

下列各项，应通过“固定资产清理”科目核算的有()。

下列说法中错误的一项是______。

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