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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵。
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵。
admin
2018-04-08
58
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
,且Q的第三列为
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)由题意知Q
T
AQ=Λ,其中 [*] 则A=QΛQ
T
。 设Q的其他任一列向量为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,因为Q为正交矩阵,所以 [*] 即x
1
+x
3
=0,其基础解系含两个线性无关的解向量,即为 α
1
=(-1,0,1)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
, 把α
1
单位化 [*] (Ⅱ)证明:因为(A+E)
T
=A
T
+E=A+E,所以A+B为实对称矩阵,又因为A的特征值为1,1,0,所以A+E特征值为2,2,1,且都大于0,因此A+B为正定矩阵。
解析
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考研数学一
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