设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08 52

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQ^T。设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α₁=(－1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T，把α₁单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学一

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．计算并化简PQ；

设B=(E+A)-1(E—A)，则(E+B)-1=__________．

设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式．

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝()。

设总体X的概率密度函数如下，X1，X2，…，Xn为总体X的样本。确定常a；

设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)≤0，证明函数在(a，b)内也有F’(x)≤0。

设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，X3，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，试求：(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量；(Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值．

某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以X表示命中时已射击的次数，假设他共进行了10轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率p的矩估计和最大似然估计．

求e－x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．

简述慢性筛查的主要内容。

子宫壁间肌瘤最主要的症状是

下列关于社会生活环境噪声测点位置，说法正确的有()。

建设项目的约束性目标包括的三大目标为(　　)。

ABC某公司在按美国破产法第7章申请了破产，几个月后该公司进入清算程序。破产管理人编制了以下信息。根据以上信息，次级债权人将获得该公司多大的偿付比例?

下列会计事项中，不能表明企业应收款项发生减值的有()。(2010年)

炎黄时期，北方和西北地区居住着“群翟”部落群，在南方的部落群被称为()。

公司50万股，盈利100万，股价20元，股利分配率为15％，RDE＝15％。求股权收益率。

Noonewouldimaginethatthatcitywasjustanight’sjourneyfromhere.Itseemedasthough______inanotherworld.

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