设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2018-04-08 51

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案(Ⅰ)由题意知Q^TAQ=Λ，其中 [*] 则A=QΛQ^T。设Q的其他任一列向量为(x₁，x₂，x₃)^T，因为Q为正交矩阵，所以 [*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 α₁=(－1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T，把α₁单位化 [*] (Ⅱ)证明：因为(A+E)^T=A^T+E=A+E，所以A+B为实对称矩阵，又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，且都大于0，因此A+B为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关；

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已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，0，1]T．求方程组(I)和(Ⅱ)的公共解．

已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是()

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设随机变量X在[0，π]上服从均匀分布，求(1)Y＝sinX的概率密度；(2)E(Y)和D(Y)。

设A，B，C是三个随机事件，P(ABC)=0，且0＜P(C)＜1，则一定有()

已知三阶矩阵A满足A3=2E，若B=A2+2A+E，证明B可逆，且求B－1．

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女性，55岁。近一个月来，头痛、乏力、早醒、坐立不安、常担心家人会出事，怀疑自己得了不治之症，给家庭带来麻烦，悲观失望。最可能的诊断是

男性，20岁，发热2周，体温38℃一39℃，检查皮肤散在紫癜，颈部及腋下可触及0.5cm×1.5cm大小淋巴结5-6个，脾肋下3cm，血红蛋白85g/L，白细胞10×l09／L，血小板25×109／L。

天然大理石板材按板材的加工质量和外观质量分为()级。

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村民委员会和居民委员会的性质是(　)。

计算机主要技术指标通常是指()。

A、Sheonlyfocusesonfashionandboys.B、Sheonlyfocusesonherstudy.C、Sheonlyfocusesonherfather.D、Sheonlyfocuseson

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