设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

admin2018-11-21 40

问题设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，

x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

选项

答案要证f(x)＞0 ←→ e^xf(x)＞0 (x＞0)．由e^xf(x)在[0，+∞)可导且[e^xf(x)]’=e^x[f’(x)+f(x)]＞0 (x＞0) → e^xf(x)在[0，+∞)单调上升 → e^xf(x)＞e^xf(x)｜ _x=0=0 (x＞0) → f(x)＞0 (x＞0)．

解析

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考研数学一

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