2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

admin2018-11-21  23
问题 设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)＞一f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．
选项
答案要证f(x)＞0 ←→ exf(x)＞0 (x＞0)． 由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0 (x＞0) → exf(x)在[0，+∞)单调上升 → exf(x)＞exf(x)｜ x=0=0 (x＞0) → f(x)＞0 (x＞0)．
解析
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考研数学一

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