一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

admin2019-01-23 88

问题一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

选项

答案本题是典型的应用型计算题，也就是首先要考生根据题目的文字表达，翻译出数学表达式，然后进行计算．需要指出的是，这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算，而且本题还要求最值，需要用到导数工具．总之，本题是一道综合性较强的题目，这类问题的区分度在考研中一直很高．首先，考生需要画出示意图．显然，水桶竖直放立时，装水至水面高度为1时，水将从两小孔流出，此时装水量为π×1²×1=π．所以要使水桶多盛水，通过水桶倾斜来增加盛水量．用数学语言来描述，即过两孔连线做一张动平面，问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积．如图1．6-4所示． [*] 将两孔A，B连线，过此连线的平面方程为z=ky+1，其中k为参数．设动平面与桶口唯一交点M的坐标为(0，1，t)，代入平面方程，得k=t-1，则以t为参数的动平面的方程为S：z=(t-1)y+1．于是平面S与面xOy的交线为[*]．在倾斜水桶以改变盛水量时，要求此交线要始终在水桶底面上，故[*]，于是可得参数t的取值范围是：2≤t≤3，盛水量为[*]其中D_t=[*]，且要求2≤t≤3．于是问题就翻译如下： [*] V(t)单调增加，故 [*]

解析

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考研数学一

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一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

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