一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

admin2019-01-23 71

问题一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

选项

答案本题是典型的应用型计算题，也就是首先要考生根据题目的文字表达，翻译出数学表达式，然后进行计算．需要指出的是，这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算，而且本题还要求最值，需要用到导数工具．总之，本题是一道综合性较强的题目，这类问题的区分度在考研中一直很高．首先，考生需要画出示意图．显然，水桶竖直放立时，装水至水面高度为1时，水将从两小孔流出，此时装水量为π×1²×1=π．所以要使水桶多盛水，通过水桶倾斜来增加盛水量．用数学语言来描述，即过两孔连线做一张动平面，问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积．如图1．6-4所示． [*] 将两孔A，B连线，过此连线的平面方程为z=ky+1，其中k为参数．设动平面与桶口唯一交点M的坐标为(0，1，t)，代入平面方程，得k=t-1，则以t为参数的动平面的方程为S：z=(t-1)y+1．于是平面S与面xOy的交线为[*]．在倾斜水桶以改变盛水量时，要求此交线要始终在水桶底面上，故[*]，于是可得参数t的取值范围是：2≤t≤3，盛水量为[*]其中D_t=[*]，且要求2≤t≤3．于是问题就翻译如下： [*] V(t)单调增加，故 [*]

解析

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考研数学一

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一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

考研数学一

[][]

求下列二重积分的累次积分

设f(x)在[1，＋∞)可导，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，＋∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．

讨论曲线y＝2lnx与y＝2x＋ln2＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)．(*)

求点M1(2，1，3)到平面∏：2x－2y+z－3=0的距离与投影．

设函数y=f(x)在[a，b](a＞0)连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及戈轴围成的平面图形(如图3．12)绕y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα1=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：两个球中一个是红球一个是白球；

设有向量组(I)：α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，t+2)T，α4=(一2，一6，10，t)T．(1)t为何值时，(I)线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用(I)线性表出；

链霉素急性中毒出现口唇、面部及四肢麻木感，严重时出现呼吸抑制，解救的药物是(　　　)

(2009年)在如下关系信号和信息的说法中，正确的是()。

地下防水工程施工期间，明挖法的基坑必须保持地下水位至少稳定在基底（）m以下。

转增股本，投资者持有的股票数会增加。()

欧美发达国家的保险实践表明，通常购买保险产品是有效的税收筹划方法。()

如果中国政府在美国纽约发行一笔美元债券，则该笔债券属于()的范畴。

21世纪以来形成的全面营销观念主要涉及的方面不包括()。

我国校对工作的基本制度包括()等。

ThougheverymorningIqueue(排队)atthebusstopveryearly,Iamoften(41)forschool.Thereasonisthatthereare(42)

一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

考研数学一

[*][*]

求下列二重积分的累次积分

设f(x)在[1，＋∞)可导，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，＋∞)的子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜(x＞1)．

讨论曲线y＝2lnx与y＝2x＋ln2＋k在(0，＋∞)内的交点个数(其中k为常数)．

设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)．(*)

求点M1(2，1，3)到平面∏：2x－2y+z－3=0的距离与投影．

设函数y=f(x)在[a，b](a＞0)连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及戈轴围成的平面图形(如图3．12)绕y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα1=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：两个球中一个是红球一个是白球；

设有向量组(I)：α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，t+2)T，α4=(一2，一6，10，t)T．(1)t为何值时，(I)线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用(I)线性表出；

链霉素急性中毒出现口唇、面部及四肢麻木感，严重时出现呼吸抑制，解救的药物是( )

(2009年)在如下关系信号和信息的说法中，正确的是()。

地下防水工程施工期间，明挖法的基坑必须保持地下水位至少稳定在基底（）m以下。

转增股本，投资者持有的股票数会增加。()

欧美发达国家的保险实践表明，通常购买保险产品是有效的税收筹划方法。()

如果中国政府在美国纽约发行一笔美元债券，则该笔债券属于()的范畴。

21世纪以来形成的全面营销观念主要涉及的方面不包括()。

我国校对工作的基本制度包括()等。

ThougheverymorningIqueue(排队)atthebusstopveryearly,Iamoften(41)forschool.Thereasonisthatthereare(42)

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链霉素急性中毒出现口唇、面部及四肢麻木感，严重时出现呼吸抑制，解救的药物是(　　　)