一个半径为1,高为3的开口圆柱形水桶,在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计),两小孔连线与水桶轴线相交,试问该水桶最多能装多少水?

admin2019-01-23  50

问题 一个半径为1,高为3的开口圆柱形水桶,在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计),两小孔连线与水桶轴线相交,试问该水桶最多能装多少水?

选项

答案本题是典型的应用型计算题,也就是首先要考生根据题目的文字表达,翻译出数学表达式,然后进行计算.需要指出的是,这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算,而且本题还要求最值,需要用到导数工具.总之,本题是一道综合性较强的题目,这类问题的区分度在考研中一直很高. 首先,考生需要画出示意图.显然,水桶竖直放立时,装水至水面高度为1时,水将从两小孔流出,此时装水量为π×12×1=π.所以要使水桶多盛水,通过水桶倾斜来增加盛水量.用数学语言来描述,即过两孔连线做一张动平面,问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积.如图1.6-4所示. [*] 将两孔A,B连线,过此连线的平面方程为z=ky+1,其中k为参数.设动平面与桶口唯一交点M的坐标为(0,1,t),代入平面方程,得k=t-1,则以t为参数的动平面的方程为S:z=(t-1)y+1. 于是平面S与面xOy的交线为[*].在倾斜水桶以改变盛水量时,要求此交线要始终在水桶底面上,故[*],于是可得参数t的取值范围是:2≤t≤3,盛水量为[*]其中Dt=[*],且要求2≤t≤3. 于是问题就翻译如下: [*] V(t)单调增加,故 [*]

解析
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