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设函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得f′(ξ)=eζ-ηf′(η).
设函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得f′(ξ)=eζ-ηf′(η).
admin
2018-06-12
12
问题
设函数f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得f′(ξ)=e
ζ-η
f′(η).
选项
答案
把要证的等式改写成 [*]=f′(ξ) 现考察等式[*],令g(χ)=e
χ
,则由题设可知g(χ)与f(χ)在[a,b]上满足柯西中值定理条件,由此可知,必定存在η∈(a,b),使得 [*] 又f(χ),e
χ
都在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件,由此可知必存在ξ∈(a,b),ζ∈(a,b),使得 [*] 代入上述等式得[*]e
ζ
=f′(ξ) 故有f′(ξ)=e
ζ-η
f′(η).
解析
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考研数学一
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