证明不等式3x

admin2019-11-04 9

问题证明不等式3x。

选项

答案设f(x)=tanx+2sinx-3x,x [*] 则[*] 由于当x∈[*]时，sinx＞0，sec³x－1＞0，则f”(x)＞0，函数f’(x)＝sec²x＋2cosx－3为增函数，且 f’(0)=0，因此x∈[*]时，f’(x)＝sec²x+2cosx一3＞0，进一步得函数f(x)为增函数，由于f(0)＝0，因此f(x)＝tanx+2sinx－3x＞f(0)＝0，[*] 即不等式3x＜tanx+2sinx，[*]成立。

解析通过将不等式两边函数相减构造辅助函数，根据辅助函数的单调性证明。辅助函数求一次导如果无法确定单调性，则可以通过二次导结合端点值先判断一阶导的正负。

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