设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

admin2019-03-07 87

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(－1，2，－1)^T，α₂=(0，－1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A。

选项

答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)^T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k为非零的常数。又由题设知Av=0，Aα₂=0，即Aα₁=0.α₁，Aα₂=0.α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，对应λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂，其中k₁，k₂是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，故只需将α₁，α₂正交。取β₁=α₁， [*] 再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁ ，η₂ ，η₃ )= [*] 则Q^－1=Q^T，由实对称矩阵必可相似对角化，得 [*]

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

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