设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

admin2019-03-07 48

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(－1，2，－1)^T，α₂=(0，－1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A。

选项

答案(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)^T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k为非零的常数。又由题设知Av=0，Aα₂=0，即Aα₁=0.α₁，Aα₂=0.α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，对应λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂，其中k₁，k₂是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，故只需将α₁，α₂正交。取β₁=α₁， [*] 再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁ ，η₂ ，η₃ )= [*] 则Q^－1=Q^T，由实对称矩阵必可相似对角化，得 [*]

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

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设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示。

求齐次线性方程组的通解，并将其基础解系单位正交化。

已知β1=，β2=，β3=与α1=，α2=，α3=具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值。

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设α1，α2，…，α3是3维向量空间R3中的一组基。则由基α2，α1-α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2-α1的过渡矩阵为()

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开发方案是指根据区域或行业发展的()性和()性,划分近期，中期和远期的规划发展重点。

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A、邻居太可恶B、他妨碍了邻居C、邻居不正常D、故意找麻烦B

A、Theycanusethelightmoreeffectively.B、Theyarestrongerthanthecommonmaterials.C、Theycanstoreandreleaseheat.D、T

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