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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(－1，2，－1)T，α2=(0，－1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。
admin
2019-03-07
82
问题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α
1
=(－1，2，－1)
T
，α
2
=(0，－1，1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q
T
AQ=A。
选项
答案
(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)
T
是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k为非零的常数。 又由题设知Av=0，Aα
2
=0，即Aα
1
=0.α
1
，Aα
2
=0.α
2
，而且α
1
，α
2
线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α
1
，α
2
是其对应的特征向量，对应λ=0的全部特征向量为k
1
α
1
+k
2
α
2
，其中k
1
，k
2
是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α
1
，α
2
正交，故只需将α
1
，α
2
正交。 取β
1
=α
1
， [*] 再将α，β
1
，β
2
单位化，得 [*] 令Q=(η
1
，η
2
，η
3
)= [*] 则Q
－1
=Q
T
，由实对称矩阵必可相似对角化，得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mX04777K
0
考研数学一
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