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  3. [2016年] 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导函数如图1．2．3．3所示，则( )．

[2016年] 设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导函数如图1．2．3．3所示，则( )．

admin2019-03-30  48
问题 [2016年]  设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导函数如图1．2．3．3所示，则(    )．
        
选项 A、函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
B、函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点
C、函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点
D、函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
答案B
解析 由导函数的图形1．2．3．3易看出，导数为0的点有x=a，b，c，d．它们是可导函数取极值的候选点．
    由图易看出，当x＜a时，f’(x)＞0，当x＞a时，f’(x)＜0，由命题1．2．3．2(1)可判别x=a为f(x)的极大值点．
    当x＜c时，f’(x)＜0，当x＞c时f’(x)＞0，由命题1．2．3．2(1)判别x=c为f(x)的极小值点．
    但当x＜b时，f’(x)＜0，当x＞b时，f’(x)＜0．由命题1．2．3．2(1)知x=b不是极值点．
    同理，当x＜d和x＞d时，f’(x)＞0，故x=d也不是极值点．
    当x＜b时，f’(x)单调下降，故f"(x)＜0；当b＜x＜e时，f’(x)单调上升，故f(x)＞0．由命题1．2．3．5(1)知(b，f(b))为拐点．
    当f＜x＜e时，f’(x)单调上升，故f"(x)＞0．又当e＜x＜d时，f’(x)单调下降，f"(x)＜0．由命题1．2．3．5(1)知，(e．f(e))为拐点．
    当e＜x＜d时，f’(x)单调下降，故f"(x)＜0，当x＞d时f’(x)单调上升，故f"(x)＞0，由命题1．2．3．5(1)知，(d，f(d))为曲线的拐点．
    综上知，曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点．仅(B)入选．
    注：命题1．2．3．2  (1)若f’(x0)=0或f(x)在x=x0处连续，但f’(x0)不存在，则当f’(x)在x0的左半邻域(x0一δ1，x0)与右半邻域(x0，x0+δ)改变符号时，x0为极值点．进一步当f’(x)由负变正时，x0为极小值点，当f’(x)由正变负时，x0为极大值点．常称此法为极值的一阶导数判别法．
    若f’(x)在x=x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值．
     命题1．2．3．5  设y=f(x)在点x0处连续，f"(x0)=0．(1)若f"(x)在x0的左、右邻域内变号，则点(x0，f(x0))是拐点.
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考研数学三

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