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[2016年] 设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数如图1.2.3.3所示,则( ).
[2016年] 设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数如图1.2.3.3所示,则( ).
admin
2019-03-30
52
问题
[2016年] 设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数如图1.2.3.3所示,则( ).
选项
A、函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点
B、函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有3个拐点
C、函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有1个拐点
D、函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点
答案
B
解析
由导函数的图形1.2.3.3易看出,导数为0的点有x=a,b,c,d.它们是可导函数取极值的候选点.
由图易看出,当x<a时,f’(x)>0,当x>a时,f’(x)<0,由命题1.2.3.2(1)可判别x=a为f(x)的极大值点.
当x<c时,f’(x)<0,当x>c时f’(x)>0,由命题1.2.3.2(1)判别x=c为f(x)的极小值点.
但当x<b时,f’(x)<0,当x>b时,f’(x)<0.由命题1.2.3.2(1)知x=b不是极值点.
同理,当x<d和x>d时,f’(x)>0,故x=d也不是极值点.
当x<b时,f’(x)单调下降,故f"(x)<0;当b<x<e时,f’(x)单调上升,故f(x)>0.由命题1.2.3.5(1)知(b,f(b))为拐点.
当f<x<e时,f’(x)单调上升,故f"(x)>0.又当e<x<d时,f’(x)单调下降,f"(x)<0.由命题1.2.3.5(1)知,(e.f(e))为拐点.
当e<x<d时,f’(x)单调下降,故f"(x)<0,当x>d时f’(x)单调上升,故f"(x)>0,由命题1.2.3.5(1)知,(d,f(d))为曲线的拐点.
综上知,曲线y=f(x)有2个极值点和3个拐点.仅(B)入选.
注:命题1.2.3.2 (1)若f’(x
0
)=0或f(x)在x=x
0
处连续,但f’(x
0
)不存在,则当f’(x)在x
0
的左半邻域(x
0
一δ
1
,x
0
)与右半邻域(x
0
,x
0
+δ)改变符号时,x
0
为极值点.进一步当f’(x)由负变正时,x
0
为极小值点,当f’(x)由正变负时,x
0
为极大值点.常称此法为极值的一阶导数判别法.
若f’(x)在x=x
0
的两侧不变号,则f(x
0
)不是极值.
命题1.2.3.5 设y=f(x)在点x
0
处连续,f"(x
0
)=0.(1)若f"(x)在x
0
的左、右邻域内变号,则点(x
0
,f(x
0
))是拐点.
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考研数学三
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