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  3. [2005年] 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MC ＜=＞ N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )．

[2005年] 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MC ＜=＞ N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )．

admin2021-01-15  23
问题 [2005年]  设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MC ＜=＞ N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有(     )．
选项 A、F(x)是偶函数＜=＞f(x)是奇函数
B、F(x)是奇函数＜=＞f(x)是偶函数
C、F(x)是周期偶函数＜=＞f(x)是周期函数
D、F(x)是单调函数＜=＞f(x)是单调函数
答案A
解析 由题设可知，F(x)=∫0xf(t)dt+k(k为一常数)，则f(x)为奇函数 => ∫0xf(t)dt为偶函数 => f(x)的全体原函数为偶函数    => F(x)是偶函数(因F(x)是f(x)的一个原函数)．
反之，若F(x)为偶函数 => F(-x)=F(x) => [F(一x)]x’=F’(x)，即F’(一x)(一1)=F’(x)，亦即f(一x)(一1)=f(x)(因F’(x)=f(x)) => -f(-x)=f(x) => f(x)为奇函数．
仅A入选．
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考研数学一

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