[2016年] 已知矩阵设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，试将(β1，β2，β3)

admin2021-01-25 42

问题 [2016年] 已知矩阵

设三阶矩阵B=[α₁，α₂，α₃]满足B²=BA，记B¹⁰⁰=(β₁，β₂，β₃)，试将(β₁，β₂，β₃)

选项

答案先证BA⁹⁹=B¹⁰⁰．事实上BA²=BA．A=B²．A=B．BA=B．B²=B BA³=BA²·A=B³·A=B²·BA=B²·B²=B⁴，…，设BA⁹⁸=B⁹⁹，则 BA⁹⁹=B·A⁹⁸·A=B⁹⁹·A=B⁹⁸·BA=B⁹⁸．B²=B¹⁰⁰．由B¹⁰⁰=[β₁，β₂，β₃]，B=[α₁，α₂，α₃]，B¹⁰⁰=BA⁹⁹得到 [*] 故 β₁=(－2+2⁹⁹)α₁+(－2+2¹⁰⁰)α₂， β₂=(1－2⁹⁹)α₁+(1－2¹⁰⁰)α₂， β₃=(2－2⁹⁸)α₁+(2－2⁹⁹)α₂．

解析

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