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设三阶矩阵A的特征值是0,1,一1,则下列选项中不正确的是( )
设三阶矩阵A的特征值是0,1,一1,则下列选项中不正确的是( )
admin
2017-01-13
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问题
设三阶矩阵A的特征值是0,1,一1,则下列选项中不正确的是( )
选项
A、矩阵A—E是不可逆矩阵。
B、矩阵A+E和对角矩阵相似。
C、矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。
D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。
答案
C
解析
因为矩阵A的特征值是0,1,一1,所以矩阵A—E的特征值是一1,0,一2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值,所以A一E不可逆。故选A。因为矩阵A+E的特征值是1,2,0,矩阵A+E有三个不同的特征值,所以A+E可以相似对角化。(或由A~A→A+E~A+E而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。选项C的错误在于,若A是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交,而一般n阶矩阵,不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。
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