设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f″(x)|≤|(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明: |f′(x)|≤1/2(x∈[0,1]).

admin2022-08-19  42

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f″(x)|≤|(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明:
|f′(x)|≤1/2(x∈[0,1]).

选项

答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f′(x)x+1/2f″(ξ1)x2,ξ1∈(0,x), f(1)=f(x)+f′(x)(1-x)+1/2f″(ξ2)(1-x2)2,ξ2∈(x,1), 两式相减,得f′(x)=1/2f″(ξ1)x2-1/2f″(ξ2)(1-x)2. 两边取绝对值,再由|f″(x)|≤1,得 |f′(x)|≤1/2[x2+(1-x)2]=(x-1/2)2+1/4≤1/2.

解析
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