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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f″(x)|≤|(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明: |f′(x)|≤1/2(x∈[0,1]).
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f″(x)|≤|(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明: |f′(x)|≤1/2(x∈[0,1]).
admin
2022-08-19
42
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f″(x)|≤|(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明:
|f′(x)|≤1/2(x∈[0,1]).
选项
答案
由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f′(x)x+1/2f″(ξ
1
)x
2
,ξ
1
∈(0,x), f(1)=f(x)+f′(x)(1-x)+1/2f″(ξ
2
)(1-x
2
)
2
,ξ
2
∈(x,1), 两式相减,得f′(x)=1/2f″(ξ
1
)x
2
-1/2f″(ξ
2
)(1-x)
2
. 两边取绝对值,再由|f″(x)|≤1,得 |f′(x)|≤1/2[x
2
+(1-x)
2
]=(x-1/2)
2
+1/4≤1/2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nNR4777K
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考研数学三
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