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设有定义在(一∞,+∞)上的函数: 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________; (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________.
设有定义在(一∞,+∞)上的函数: 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________; (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________.
admin
2018-11-21
43
问题
设有定义在(一∞,+∞)上的函数:
则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________;
(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________.
选项
答案
(Ⅰ)当x>0与x<0时上述各函数分别与某初等函数相同,故连续.从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续.注意到若f(x)=[*]其中g(x)在(一∞,0]连续,h(x)在[0,+∞)连续.因f(x)=g(x)(x∈(一∞,0]) →f(x)在x=0左连续.若又有g(0)=h(0) →f(x)=h(x)(x∈[0,+∞)) →f(x)在x=0右连续.因此f(x)在x=0连续.(B)中的函数g(x)满足:sinx|
x=0
=(cosx一1)|
x=0
,又sinx,cosx一1均连续→g(x)在x=0连续.因此,(B)中的g(x)在(一∞,+∞)连续.应选B. (Ⅱ)关于(A):由 [*] → x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点). 关于(C):由[*]=e≠h(0) → x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点). 已证(B)中g(x)在x=0连续.因此选D. 或直接考察(D).由 [*]=+∞ → x=0是m(x)的第二类间断点.
解析
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考研数学一
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