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  3. 设有定义在(一∞，+∞)上的函数： 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________； (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________．

设有定义在(一∞，+∞)上的函数： 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________； (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________．

admin2018-11-21  20
问题 设有定义在(一∞，+∞)上的函数：

    则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是_________；
    (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________．
选项
答案(Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=[*]其中g(x)在(一∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(一∞，0]) →f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0) →f(x)=h(x)(x∈[0，+∞)) →f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx一1)｜x=0，又sinx，cosx一1均连续→g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(一∞，+∞)连续．应选B． (Ⅱ)关于(A)：由 [*] → x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)． 关于(C)：由[*]=e≠h(0) → x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)． 已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选D． 或直接考察(D)．由 [*]=+∞ → x=0是m(x)的第二类间断点．
解析
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考研数学一

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