设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

admin2015-05-07 31

问题设矩阵

，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析

可知矩阵A的特征值是3，－3，0，故秩r(A)=2，二次型x^TAx的正、负惯性指数均为1．
(A)中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；(C)中矩阵的特征值为3，－3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意．
对于(D)，记其矩阵为D，由

可知D的特征值为1，－1，0．x^TAx与x^TDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，符合题意，故应选(D)．
注意，(B)中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数p=2，负惯性指数q=1，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．

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考研数学一

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