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  3. 设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2019-09-27  53
问题 设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．
选项
答案｜λE－A｜=[*]=(λ+a－1)(λ－a)(λ－a－1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1－a，λ2=a，λ3=1+a． (1)当1－a≠a，1－a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ1=1－a时，由[(1－a)E－A]X=0得ξ1=[*]；λ2=a时，由(aE－A)X=0得ξ2=[*]；λ3=1+a时，由[(1+a)E－A]X=0得ξ3=[*] 令P=[*]，P－1AP=[*] (2)当a=0时，λ1=λ3=1， 因为r(E－A)=2，所以方程组(E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a=[*]时，λ1=λ2=[*]， 因为[*]=2，所以方程组[*]=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．
解析
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考研数学一

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