设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+.试求f(t)

admin2020-03-16 35

问题设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e^4πt²+

.试求f(t)

选项

答案先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 [*] 代入原方程得 f(t)=e^4πt²+2π∫₀^2t[*]rdr(t≥0) 两边对t求导得f’(t)=8πte^4πt²+2π.f(t).2t.2，即 f’(t)-8πtf(t)=8πte^4πt²． ① 在前一个方程中令t=0得 f(0)=1．② 求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边同乘e^-∫8πtdt=e^-4πt²得 [e^-4πt²f(t)]’=8πt．积分得e^-4πt²f(t)=4πt²+C．由f(0)=1得C=1．因此f(t)=(4πt²+1)e^4πt²．

解析

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