设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．证明：方程f’’(x)－f(x)=0在(0，1)内有根．

admin2018-05-25 93

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．证明：方程f’’(x)－f(x)=0在(0，1)内有根．

选项

答案令φ(x)=e^－x[f(x)+f’(x)]．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，而φ’(x)=e^－x[f’’(x)一f(x)]且e^－x≠0，所以方程f’’(c)－f(c)=0在(0，1)内有根．

解析

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考研数学三

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