设函数f(x)在(―a,a)(a>0)内连续,在x=0处可导,且f′(0)≠0. (Ⅰ)求证:对任意给定的x(0<x<a),存在0<θ<1,使 (Ⅱ)求极限

admin2019-06-06  94

问题 设函数f(x)在(―a,a)(a>0)内连续,在x=0处可导,且f′(0)≠0.
     (Ⅰ)求证:对任意给定的x(0<x<a),存在0<θ<1,使
   
    (Ⅱ)求极限

选项

答案(Ⅰ)设 [*] 则F(0)=0.因而可在[0,x]上对F(x)使用拉格朗日中值定理,即可证得(1). (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式,然后取极限求之. 解 (Ⅰ)令 [*] 则F(x)在[0,x]上可微,且F(0)=0,对F(x)在[0,x]上使用拉格朗日中值定理,得到θx(0<θ<1),使 F(x)一F(0)=F′(θx)·x, 即 [*] (Ⅱ)利用式①,令x→0+,两边分别取极限,左边得到 [*] 右边得到 [*] 于是得到 [*] 因f′(0)≠0,故[*]

解析
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