2. 考研
  3. 设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0． (Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使 (Ⅱ)求极限

设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0． (Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使 (Ⅱ)求极限

admin2019-06-06  111
问题 设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0．
     (Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使
   
    (Ⅱ)求极限
选项
答案(Ⅰ)设 [*] 则F(0)=0．因而可在[0，x]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，即可证得(1)． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式，然后取极限求之． 解 (Ⅰ)令 [*] 则F(x)在[0，x]上可微，且F(0)=0，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得到θx(0＜θ＜1)，使 F(x)一F(0)=F′(θx)·x， 即 [*] (Ⅱ)利用式①，令x→0+，两边分别取极限，左边得到 [*] 右边得到 [*] 于是得到 [*] 因f′(0)≠0，故[*]
解析
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考研数学二

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