设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0． (Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使 (Ⅱ)求极限

admin2019-06-06 107

问题设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0．
(Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使

(Ⅱ)求极限

选项

答案(Ⅰ)设 [*] 则F(0)=0．因而可在[0，x]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，即可证得(1)． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果可将等式左端凑成导数定义的形式，然后取极限求之．解 (Ⅰ)令 [*] 则F(x)在[0，x]上可微，且F(0)=0，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得到θx(0＜θ＜1)，使 F(x)一F(0)=F′(θx)·x，即 [*] (Ⅱ)利用式①，令x→0⁺，两边分别取极限，左边得到 [*] 右边得到 [*] 于是得到 [*] 因f′(0)≠0，故[*]

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在(―a，a)(a＞0)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0． (Ⅰ)求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使 (Ⅱ)求极限

考研数学二

＝K，求(a≠0)．

求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(χ)＝eχcosχ(χ3)；(Ⅱ)f(χ)＝(χ3)；(Ⅲ)f(χ)＝，其中a＞0(χ2)．

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．

如图8．15所示．[*]

已知α=(1，4，0，2)T，α=(2，7，1，3)T，α=(0，1，一1，α)T，β=(3，10，b，4)T，问(1)a，b取何值时，β不能由α1,α2,α3线性表出?(2)a，b取何值时，β可由α1,α2,α3线性表出?并写出此表示式．

设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(x)dx=0，证明：在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f’’(η)=f(η)．

求f(x)=的连续区间、间断点并判别其类型．

已知f(χ)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)＝0，证明：｜∫02f(χ)dχ｜≤，其中M＝｜f〞(χ)｜．

设L：y=sinx(0≤x≤)．由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0＜t＜t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．设，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

下列导致委托代理关系终止的原因，正确的有()。

根据《跟单信用证统一惯例》规定，若信用证中对是否分批装运与转运未予规定，则受益人()。

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某上市公司拟进行重大资产重组，根据证券法律制度的规定，下列情形中，应当提交并购重组委审核的有()。

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