[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．

admin2019-04-08 54

问题 [2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Y_n=

依概率收敛于______．

选项

答案1/2

解析利用辛钦大数定律求之．由于X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机变量样本，X₁，X₂，…，X_n相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X₁²，X₂²，…，X_n²也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故
E(X_i)=E(X)=1／2， D(X_i)=D(X)=(1／2)²=1／4 (i=1，2，…，n)，
则 E(X_i²)=D(X_i)+[E(X_i)]²=1／4+(1／2)²=1／2 (i=1，2，…，n)．
根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X₁²，X₂²，…，X_n²，其算术平均值依概率收敛于数学期望：

即

表示依概率收敛于)，亦即

依概率收敛于1／2．[img][/img]

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考研数学一

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