[2006年] 设α1,α2,…,αs都是n维列向量,A是m×n矩阵,则( )成立.

admin2019-04-28  44

问题 [2006年]  设α1,α2,…,αs都是n维列向量,A是m×n矩阵,则(    )成立.

选项 A、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关
B、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关
C、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关
D、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关

答案A

解析 解一  由定义知,若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为零的数c1,c2,…,cs,使得c1α1+c2α2+…+csαs=0.用A左乘等式两边,得
             c11+c22+…+css=0,
于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.仅(A)入选.
    解二  若α1,α2,…,αs线性相关,则秩([α1,α2,…,αs])          秩([Aα1,Aα2,…,Aαs])=秩(A[α1,α2,…,αs])≤秩([α1,α2,…,αs])故Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.仅(A)入选.
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