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[2006年] 设α1,α2,…,αs都是n维列向量,A是m×n矩阵,则( )成立.
[2006年] 设α1,α2,…,αs都是n维列向量,A是m×n矩阵,则( )成立.
admin
2019-04-28
44
问题
[2006年] 设α
1
,α
2
,…,α
s
都是n维列向量,A是m×n矩阵,则( )成立.
选项
A、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
B、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
C、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关
D、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关
答案
A
解析
解一 由定义知,若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则存在不全为零的数c
1
,c
2
,…,c
s
,使得c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0.用A左乘等式两边,得
c
1
Aα
1
+c
2
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0,
于是Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.仅(A)入选.
解二 若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则秩([α
1
,α
2
,…,α
s
])
秩([Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
])=秩(A[α
1
,α
2
,…,α
s
])≤秩([α
1
,α
2
,…,α
s
])
故Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.仅(A)入选.
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考研数学三
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