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[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．
[2006年] 设α1，α2，…，αs都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．
admin
2019-04-28
40
问题
[2006年] 设α
1
，α
2
，…，α
s
都是n维列向量，A是m×n矩阵，则( )成立．
选项
A、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
B、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
C、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关
D、若α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性无关
答案
A
解析
解一 由定义知，若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则存在不全为零的数c
1
，c
2
，…，c
s
，使得c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
=0．用A左乘等式两边，得
c
1
Aα
1
+c
2
Aα
2
+…+c
s
Aα
s
=0，
于是Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．仅(A)入选．
解二 若α
1
，α
2
，…，α
s
线性相关，则秩([α
1
，α
2
，…，α
s
])
秩([Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
])=秩(A[α
1
，α
2
，…，α
s
])≤秩([α
1
，α
2
，…，α
s
])
故Aα
1
，Aα
2
，…，Aα
s
线性相关．仅(A)入选．
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考研数学三
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